DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

Matematik ve istatistik tekniklerin ekono­mik faaliyetlerin değerlendirilmesinde, sevk ve idare problemlerinin çözüm 1 enmesindeki rolü ve etkisi özellikle önemli olmuştur. Hızla gelişen yeni matematiksel teknikler, karar al­ma sürecine kolay çözüm yolu getiren nitelik­leri ile gerek özel, gerekse kamu sektörünün ekonomik faaliyetlerinde etkinlik kazanmış­tır. Sınırlı kaynak İmkânlarını belirli amaçla­rın gerçekleşmesine yöneltmek, doğal bir zo­runluluğu da beraberinde getirmektedir. Mevcut kaynakların belirli programlara yöneltilmesindckı amaç, kaynak dağılımlarının opti­mum çözümünü sağlayacak nitelikte olması ve tercihler seti için en iyi bileşimi vermesidir.

Matematiksel bir teknik olarak "doğrusal programlama", değişik nitelikteki ekonomik faaliyetlerin karşılaştığı ya da meydana getirdi­ği birbirinden bağımsız faktörlerin, sınırlı kay­nak imkânlarına bağlı olarak en uygun bile­şimde biçimlenmesine önemli katkılarda bu­lunmaktadır. Temel olarak doğrusal program­lama, bütün ayrıntıları bilinen şartlar altında uygun bir karar alma aracıdır. Bununla bera­ber, rekabetçi şartlara bağlı karar alma du­rumlarında, örneğin "oyun teorisinde", doğru­sal programlama, gerek stratejiler vektörü­nün tespit edilmesinde, gerekse oyunun kesin sonucunun tesitinde tam çözüm getiren niteli­ği ile bu teorinin gelişmesine büyük katkılar­da bulunmuştur.

Doğrusal programlamanın temeli, matema­tik biliminin en eski teorilerinden birisi olan "Aynı Anda Çözülebilir" eşitliklere dayanmak­tadır. Ancak matematiksel bir programlama olarak geçmişi yenidir. Doğrusal programla­manın ilk ve kapsamlı teorik tartışması, ünlü Rus matematikçisi L.V. Kantorovich tarafın­dan yapılmıştır. Buna karşıhk tekniğin bütün sistematik açıklamalarını yapan ve uygulayan Amerikan matematikçisi G. Dantzing olmuş­tur.

II. Dünya Savaş/nda büyük askeri ve sivil ha­rekât herşeyden daha çok bu faaliyetlerin sis­tematik planlamasını ve koordinasyonunu ge­rektiriyordu. Leonticfin t emelde sektörlcrara-sı ekonomik ilişkileri açıklayan, fakat optimi-zasyon gibi bir amacı olmayan girdî-çıktı mo­delinin rehberliğinde doğrusal programlama konusu araştırılmaya başlandı. Sözkonusu araştırmalar ilk defa ABD Hava Kuvvctlcrİ'n-de yapılan planlama çalışmaları içinde yürütül­müş ise de 1947 yılına kadar programlama problemlerinin genel formülasyonunu yap­mak mümkün olmamıştır. ABD Hava Kuvvet-leri'nin bir araştırma örgütü olanRANDCor-poration'da Dantzing tarafından 1947 yılmda planlamakta olduğu lojûtik faaliyet ve probtemlerin, bugün bizim doğrusal programlama dediğimiz şekli aldığına dikkat etmiş ve bu Özelliği, henüz tespit edilmemiş matematiksel bir yapı olarak yorumlamıştır.

Dantzing'in bu konudaki yorum ve çalışma­ları J. Von Neumann, L. Hunvicz ve T.C.Ko-opmans gibi matematikçi ve iktisatçılar tara­fından desteklenmiş ve bugün "Sİmpleks Me-tod" adını verdiğimiz metoda ulaşılmıştır. O gün için tamamen bir askeri planlama süreci İçinde saptanan teknik, bugün matematikçiler ve iktisatçıların geliştirdiği yeniliklere ekono­mi ve sevk/İdare problemlerinde matematik­sel bir analiz aracı olarak çok yaygın bir uygu­lama alanına kavuşmuştur. Özellikle gelişen bilgisayar imkânları, tekniği, bugün işletmele­rin her safhasında başarı ile kullanılan bir araç haline getirilmiştir. Malî analizler, kay­nak kullanımları, bütçeleme hatta muhasebe işlemlerinde bile egemen hale gelen teknik, geniş kapsamlı ve değişik ilişkilerden etkile­nen sevk ve idare problemlerinin çözümünde temel metod olarak kullanılmaktadır.

Doğrusal programlama, esas itibariyle, bir amacı belli sınırlayıcı şartlar altında maksi­mum ya da minimum yapan çözüme ne şekil­de varılacağını gösteren matematik bir teknik­tir. Bu yaklaşımın kavramsal çerçevesi, yani fa­aliyet denilen üretim birimleri arasındaki İİİş-kilerin analizine de "faaliyet analizi" denir. Fa­aliyet bir İktisadi işin yapılmasında, yani belli oranda İnputlann belli oranda üretime dönüş­türülmesinde kullanılan yöntemi ifade eder. Doğrusal programlama matematik tekniği, çok sayıda faaliyetlerden oluşan, belli şartlar­da optimal faaliyet setini çözmeye çalışır.

Görülüyor ki, doğrusal programlama sayısal çözümü veren matematik bir yöntem, faaliyet analizi ise bu yöntemin kavramsal içeriğini oluşturan bir analizdir. Aralarındaki bu sıkı ilişki nedeni İle "faaliyet analizi" ve "doğrusal programlama" çok kere aynı anlamda kullanı­lırlar.

Doğrusal programlama probleminde fonksi­yonel ilişkilerin doğrusal olduğu varsayılmak­tadır. Bu doğrusallık hem amaç fonksiyonu için, hem de sınır şartlarını belirleyen denk-

lemler için sözkonusudur. Bunlardan herhan­gi birinin doğrusal nitelik taşıması halinde problem doğrusal programlama problemi ol­maktan çıkacaktır.

Doğrusal programlama probleminin ekono­mide yaygın bir kullanım alanı vardır. Sözko-nusu analiz, bir fabrikadan bir endüstriye ve­ya bütün bir ekonomiye kadar her çeşit üre­tim birimlerinde uygulanabilmektedir. Şimdi bir endüstrinin bir programlama modeli yardı­mıyla optimizasyona ulaşmak istediğini düşü­nerek, modelin nasıl kurulabileceğini ve mo­delde yer alan kavramların ne anlam taşıya­caklarım görmeye çalışalım.

Böyle bir problemin amaç fonksiyonu, top­lam üretimin piyasa değerinin maksimum kı­lınması olabilir. Yukarıda da belirtildiği gibi, bu fonksiyonun doğrusal olması gerekecektir. Böyle bir fonksiyon şu şekilde yazılabilir:

Z    =

C2X2

+    c,,x

nAn

Burada X|,X2, ...,xn endüstri tarafından üre­tilen n sayıda mal, cj_, C2, cn ise bu malların pi­yasa fiyatlarıdır.

Öte yandan bu endüstride üretim belli mik­tarda kaynakla gerçekleştirilebilir. Endüstri­de m tane b miktarda kaynak olduğunu ve her maldan da bir birim üretmek için gerekli kay­nak miktarlarını gösteren input (girdi) katsayı­larının (ajj) bilindiğini kabul edelim. Buna gö­re sınır şartlarını belirleyen denklemler siste­mi,

 b2

amlxl   +   am2x2

 mnxn

olacaktır. Ayrıca sistemde bilinmeyen değiş­kenler olarak yer alan x'lerin, yani üretilecek mal miktarlarının negatif olamayacağı şeklin­de bir diğer sınır şartının da belirtilmesi gerekir. Buna göre, (xı,X2,..,x]1) ş.0

yazılacaktır. Şimdi bu sistemi cebirsel ifadeler­le özetleyecek olursak,

Z = E: C:Xj

doğrusal fonksiyonu ve

E;ajjX: 4 bj (i = 1,.... mvcj ~ 1..., n)

Görülüyor ki, doğrusal programlamada bi­linmeyen sayısı denklem sayısından büyüktür. Başka bir deyişle n > m dir. Bunun sonucu olarak nihai çözümde n-m kadar x değişkeni sıfır değer alacaktır. Dolayısıyla bu endüstri­de, hangi mallardan ne miktarda üretilerek toplam üretim piyasa değerinin maksimum kı­lınacağı, çözüm sonucunda anlaşılacaktır,

Doğrusal programlama değişik şekillerde çö­zümlenebilir. Bu çözüm yollarının en basit şekli, kısıtlayıcı ilişkilerin ikili eksenler üzerin­de doğrular olarak çizilmesi ve uygun çözüm alanının saptanmasıdır. Doğrusal programla­ma problemlerinin çözümünde grafik yöntem­lerinden yararlanabilmek için, sözkonusu problemlerin en fazla üç değişkeni ihtiva et­mesi gerekir. Çünkü üç boyuttan daha fazlası için grafik çizimi yapılamamaktadır.

Bazı hallerde maıriks cebir aracılığı ile tam uygun çözüm alanının saptanması İmkânı var­dır. Ancak matriks çözüm her doğrusal prog­ramlama ilişkisinde mutlaka amaç fonksiyonu­nun maksimum veya minimum kılan çözümü­nü getirmeyebilir. Bununla beraber matriks Çözüm ile saptanan değişken değerleri mutla­ka uygun çözüm alanı içinde yer alırlar.

Doğrusal programlama çözümlerinin en mü­kemmel şekli olan sİmpleks metod; her tip doğrusal programlama çözümlerinde kullanı­labilir niteliktedir. Sİmpleks metod uygulama­sında programda içerilen değişken sayısının çözümün pratik olarak izlenmesinde hiç bir

olumsuz etkisi olmadığı gibi aksine bu İlişkiyi kolayca İzleme imkânı kazandırıcı niteliği var­dır.

Mustafa SEVÜKTEKİN Bk. Gircli-Çıktı Analizi; Oyun Teorisi