PROBABİLİTE

Probabİlitenin çeşitli tanımlarını ver­mek mümkündür. Mesela bir tanıma göre, "ihtimal-probabilite, olasılık, gelecekteki bir olay hakkındaki ümidimizin kuvvetinin bir ölçüsüdür", ihtimal in -probabi I iten in-klasik bir tanımı şöyle yapılmaktadır: Bir olaya ilişkin bütün mümkün halleri, "elverişli" ve "elverişsiz" şeklinde iki gruba ayı­rıp, birinci gruptaki hallerin sayısını "a" ve ikinci gruptakilerin sayısını "b" ile göstere­lim. Bütün bu haller aynı derecede muhte­mel olup, karşılıklı olarak birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini im­kansız kılarsa "elverişli halin ortaya çıkma­sı ihtimali" a/(a+b) yani elverişli hallerin sayısının bütün mümkün hallerin sayısına oranıdır. "Elverişsiz halin ortaya çıkması ihtimali" ise, aynı mantıkla b/(a+b) olur.

Eğer bir olay mutlaka meydana gelecek­se, olayın gerçekleşme ihtimali "1" sayısı ile ifade edilir. Buna "mutlak hal" veya "kesin hal" adı verilir. Ayrıca, eğer bir olay aynı Şartlar altında çeşitli şekillerde meydana gelebiliyorsa ve bu şekillerden bazıları el­verişli veya elverişsiz şekilde gerçekleşme­si kesinlikle beklenen bir sonuçtur. Bu du­rumda gerçekleşecek herhangi bir olayın meydana gelme ihtimali de "1" sayısı ile ifa­de edilir. Buna karşılık bir olayın belli şart­lar altında meydana gelmesi imkansız ise, olayın gerçekleşme ihtimaline verilecek sa­yısal değer "O" dır. Bu duruma göre, her­hangi bir ihtimal ölçüsü "O" ile "1" arasında bir değere sahip olur. Elverişli hal ihtimali "p", elverişsiz hal ihtimali ise "1-p" şeklinde ifade edilir.

İhtimalin nisbi frekans olarak tanımı ise şöyle yapılmaktadır: Çok defa tekrarlanan bir deneyle elde edilen sonuçlardan elveriş­li olanların sayısının bütün deneyler sayısı­na oranı, deney sayısı sonsuz büyüdükçe, belirli bir limite yaklaşır. Sözkonusu limite, "bu deneyden elverişli bir sonuç elde etme ihtimali" adı verilir. Herhangi bir olay için, elverişli hallerin bütün mümkün haller sa­yısına oranına, "elverişli hallerin nisbi fre­kansı" denir. Böylelikle, "ihtimal nisbi fre-

kansın limit değeridir" şeklinde bir tanıma ulaşılır. Mesela kusursuz, dengeli bir parayı 100 defa havaya fırlattığımız zaman, 50 de­fa yazı gelmesi beklenir. Oysa böyle bir de­neme yapıldığında, tam 50 defa yazı gelme­sini ümit etmek fazla iyimserlik olur. Bu­nunla birlikte, deney sayısı arttırıldıkça el­de edilen yazı sayısının bütün deney sayısı­na oranının, giderek %50 oranına yaklaştığı tespit olunabilir.

Yukarıdaki tanımı şu şekilde formüle edebiliriz:

p=lim a n  °°b

"a/bnin beklenen değeri" şeklinde okun­mak Üzere, sözkonusu formülü

p=E (a/b)

şeklinde yazmak da mümkündür.

İhtimal teorisi ile ilgili açıklamaların da­ha iyi ifade edilebilmesi için bazı kavramla­rın açıklığa kavuşturulması gereklidir. Bu kavramlardan önemlileri şunlardır:

1) Basit ve bileşik olaylar:

 Tek bir de­neyde bir sonuç olarak gerçekleşen olaylara "basit olay" adı verilir. Buna karşılık, iki veya daha çok olayın birlikte veya biribiri ardınca meydana gelmesine "bileşik olay" denir. Basit bir olayın gerçekleşme ihtimali P(E) şeklinde gösterilir. Buna karşılık El ve E2 iki olayı ifade etmek üzere, bileşik olayların gerçekleşme ihtimali ise P (El n E2) şeklinde ifade edilir.

2) Bağımsız ve bağımlı olaylar:

Olay­lardan birinin sonucu diğerini etkilemiyor­sa, bu olaylara "bağımsız olaylar" denir. Buna karşılık, herhangi bir olayın gerçek­leşme şekli diğer bir olayın sonucuna göre değişebiliyorsa, böyle iki olaya "bağımlı olaylar" adı verilir.

3) §artlı ihtimal:

Bağımlı olaylardan birinin (El) gerçekleştiği bilindiğinde, diğe­rinin (E2) ona bağlı olarak meydana gelme ihtimali hesaplanabilir. Bu ihtimali P(E2) ihtimalinden ayırdetmek için P(E2/E1) sembolünü kullanabiliriz, işte P(E2/E1) ih­timaline "El verildiğinde E2'nin şartlı ihti­mali" veya "E2'nin El'e bağlı şartlı ihtima­li" adı verilir. P(E1) * 0 olmak üzere P(E2/E1) şu şekilde hesaplanır:

P(E2/E 1)= P(E1 n E2) P(E1)

İhtimal hesaplamalarında uygulanması gereken başlıca kurallar ise kısaca şöyle açıklanabilir:

1- Şartlı ihtimallerde çarpma kuralı: İki bağımlı olaydan E2, El'dcn sonra ve ona bağlı olarak meydana geliyorsa, bu olayla­rın her ikisinin de gerçekleşmesi ihtimali (büeşik İhtimal) şu şekilde hesaplanır:

P(E1 n E2) = P(E1).P(E2/EI)

2- Bağımsız olaylarda çarpma kuralı: Bir bileşik olayı oluşturan El ve E2 birbi­rinden bağımsız İse, diğer bir deyişle şartlı ihtimal sözkonusu değilse, El n ve E2 olay­larının her İkisinin de gerçekleşmesi ihti­mali (bileşik ihtimal) hesabında şu formül­den yararlanılır:

P(ElnE2)=P(El).P(E2)

3-  Birbirlerini engelleyen olaylarda toplama kuralı: El ve E2 olayları birbirle­rini engelleyen türden olduklarında El veya E2'nin gerçekleşmesi ihtimali bu olayların ayrı ayn meydana gelmeleri ihtimalleri top­lamına eşittir:

P(E1UE2) = P(EI)+P(E2)

4- Birbirlerini engellemeyen olaylarda toplama kuralı: El ve E2 olayları birbirle­rini engelleyen türden olmadıklarında El ve E2'nin gerçekleşmesi ihtimali, bu olayla­rın ayn ayn meydana gelmeleri ihtimalinin

toplamından, birlikte meydana gelmeleri ihtimalinin çıkartılması suretiyle bulunur: P(E1UE2)= P(E1)+P(E2)- P(E1 n E2)

Mustafa SEVÜKTEKİN